你想知道我是如何学好数学的吗？

林鼎旻

（2018年10月17日）

    我是学数学的，从小学一直到研究生都是在学习数学，而且数学成绩一直很优秀。我根据我的经验和对周围的观察，我的体会是任何人都能学好数学，无论是高等数学还是基础数学。

    本文首先谈谈我是如何成为一名好的数学学生，并介绍数学课程的基本学习进程以及应该在每门课中学习的基本要素。然后，本文将介绍学习数学需要掌握的基础知识。这些内容和经验，希望对同学和家长们有所帮助。

第一方面：如何成为一名好的数学学生的关键

1、坚持到课堂听每一节课。数学是连贯的，每一节课都很重要。如果你错过了一堂课，那么你只能通过你的同学或课本才能学习到相关的概念了。通过朋友或者从课本上学习相关的观念，其学习效果总是比不上向老师学习。

    希望碰到好的老师很重要，老师的好坏区别不是能不能解难题，而是能不能把数学的每一个概念都讲透，让学生对每一个数学概念理解、掌握得清清楚楚，从而带领学生去解决数学问题。

    应该准时到课。事实上，提早一点到教室，打开你的笔记本放到适当的位置，并准备好你的计算器，那么当你的老师准备好开始讲课时，你自己也已经进入状态了。只有在身体不适时才请假。如果你错过了某一堂课，应该向同学了解老师的讲课内容以及所布置的作业。

2、紧跟老师的思路学习。如果你的老师正在教室前讲基本概念、讲例题，或者进行解决数学问题，那么你不需要做任何笔记，注意千万不要记笔记，而是认真地听老师讲，全神贯注地跟着老师的思路走。现在中学老师基本上都要求学生上课记笔记，实际上是不对的。数学是要靠理解的，是理解的记忆。一开始对上课不记笔记感到不适应，坚持一下，过一段时间就适应了。如果做到了数学课不记笔记，专心听讲，那数学的提高是成几何级数的增长。其实，中学的这些数学概念都是不难的。

    如果听课时候一时之间某个地方不能理解（如果认真地全程地听了几乎没有听不懂的），那就简单的把老师所讲到的问题做个记号，下了课再去琢磨，或跟同学商量，或去问一下老师。直到搞懂为止。

    尝试解决老师在课堂上提出的思考题，仔细想一想。当老师在教室中巡视学生的解题情况时，可以就你的问题向老师请教。

    当老师在解题时应参与其中。积极参与老师教学时的对话，参加老师布置的小组讨论，养成读题后的数学思维，养成良好的数学解题思维习惯。并要随时扩宽自己解题思路，看到别人好的解题思路马上要“喜新厌旧”，抛弃不好的方法，吸收先进的方法。整个过程必须是全神贯注的投入上课才能做到。千万不要用“套用方法“的解题方法。不要等待老师提问。当你知道结果时应主动回答，当你对教学内容感到困惑时应举手提问。

3、当天的作业当天完成。做到这一点的话，根据心理学的原理，能够最有效地加强对新学的有关概念的理解和记忆。解题时，再强调一点，不要套用解题方法，不要满足书上的例题，不要满足老师的范例，要提倡一题多解。当然，解题的逻辑性、规范性、简捷性是要特别注意的。有时，偶尔你可能无法完成当天的家庭作业，但是你应该保证在下一次上课前完成你的作业。这不是为了避免老师的批评，而是从教育学原理出发，必须对前一节课的内容有了消化、理解和实践以后，才能继续学习下去，这是学习的规律。

4、组成学习小组，学会寻求帮助。如果你需要帮助的话，可以在课堂外寻求帮助。在你的老师的空余时间或者工作时间，向他或她寻求帮助。当然可以向同学寻求帮助。注意，千万不能抄袭同学的作业，要独立完成作业。有意识地组成一个学习小组。好的学习小组通常由4到5名不同水平的学生组成。山外有山，天外天。强中更有强中手。如果你的数学属于"C"级水平（相对地说，谦虚地说），那么你应该加入至少有2或3名"A"级或"B"级学生组成的小组，以便提升自己的水平。这样的学习小组最好是长期地伴随着你成长。这样，你永远不会骄傲，永远不会气馁，可以在一种好的环境里学习成长，追求一种最高的境界。家长的作用就是要帮助孩子组织这样的学习小组，创造这样的环境。

第二方面：在小学、中学学校学习数学

1、多练。小学数学从算术开始。在大部分学校中，学生会在低年级期间学习算术。算术包括了基础的加减乘除四则运算。多做练习，不断地解决算术问题是学习基础运算的最佳方法。找出一些能够为你给出大量不同的数学问题的软件。同时，进行计时练习以便提高你的速度。你也可以在网上找出一些算术练习题并在你的手机设备上下载算术应用。

2、理解概念。初中开始学习初级代数课程。该课程将让你掌握以后在解决代数问题时必需的基础知识。例如，分数和小数。你将会学习分数和小树的加减乘除。关于分数，你将会学习如何约分以及解释混合分数。关于小数，你需要理解位值，你将会在应用题中用上小数。

    学习比率、比例和百分比。这些概念有助你进行比较。

    学习基础几何。你将学习所有的图形以及3D概念。你也将学习面积、周长、体积和表面积等概念以及表面积和平衡线、垂直线、角度等内容。

    理解基础统计学。在初级代数课程中，你要学习的统计学知识主要包括图表、散点图、枝叶图、柱状图等图形化工具的应用。

    学习代数基础。这将包括各种变量的基本概念，例如解决带变量的简单方程、学习分布属性等各种属性、画出简单方程的图形以及解决不等式。

3、懂得什么是代数。继续学习代数。在初中的代数，你将学习代数所运用的基本符号。你也会学习：解决带变量的方程和不等式。你将学习如何通过笔算法和图形法的方法解决这些问题。解决实际问题。你可能会感到惊喜，你在以后将会面对的日常问题中，将需要运用解决代数应用题的能力。例如，你将运用代数方法计算你的银行账户或投资中所获得的利息。你也可以运用代数方法以你的车速为基础计算出你将在旅途上花费的时间。

    使用指数。当你开始解决多项式方程（同时包含数字和变量的表达式）时，你将需要理解如何使用指数。这也包括如何使用科学表达法。掌握指数应用后，你可以学习多项式表达式的加减乘除。

    解决平方和平方根问题。当你掌握了这一方面时，你将能熟记多个完全平方数。你也将能够计算包含有平方根的方程式。

    理解函数和图。在代数学中，你将需要学习图形方程。你将需要学习如何计算线条的斜率、如何把方程转换为点斜式以及如何使用斜截式计算某一线条在x轴和y轴上的截距。

    解决方程组。有时，你将会得到2条均带有x和y变量的独立方程，而你必须为两条方程解决求得x或y。幸运的是，你将学习到解决这类方程问题的多种方法，包括图形法、替换法和相加法。

4、学习几何学。在几何学中，你将学习到线条、线段、角度和图形的属性。你将熟记大量的定理和推论，它们将有助你理解几何的规则。你将学习如何计算圆面积、如何使用毕达哥斯拉定理计算特殊三角形的角度和三边的关系。你将在以后的标准化考试中遇到大量的几何问题，例如中考、高考和出国考试如SAT、GMAT、GRE。

5、高中数学拉开差距。进入高中数学变得更丰富多彩，高中数学会学习到更有难度的代数、三角函数、立体几何、平面解析几何等。高中代数以你在初中代数中所学到的概念为基础，但增加了更复杂的主题，例如二次函数、方程、不等式和矩阵。代数的实质就是函数（包括数列），函数、方程、不等式与曲线（点的几何）综合起来就是平面解析几何。等等。许多人由于不懂得数学知识的发展变化，没有掌握好的学习数学的方法，开始掉队了。

6、学习三角函数。三角函数本来单独是一门学科，有很多的公式，定理等。但是，随着科学的发展，这门学科变得不需要那么复杂，许多公式、定理显得老化了，被淘汰了。三角函数不需要那么学了。三角函数只需要为今后的高等数学服务，就可以了。所以，三角函数在中学的内容变得少了，只需要把将来在函数中、几何中、微积分中用到的知识讲清楚就可以了。所以高考中，不需要将三角函数考得很深很难。这个内容，在高考的卷子中只是1-2道填空选择和一道问答题。知识点总共有两种考法。大概百分之十到二十的概率考解三角形，百分之八九十的概率考三角函数本身性质。更多的三角知识在函数、数列、立体几何、平面解析几何中作为工具出现。

    解三角形。不管题目是什么，你要明白，关于解三角形，你只学了三个公式，正弦定理，余弦定理和面积公式。所以，解三角形的题目，求面积的话肯定用面积公式。至于什么时候用正弦，什么时候用余弦，如果你不能迅速判断，都尝试一下也未尝不可。

    三角函数基本概念和性质的考题一般是给你一个比较复杂的式子，然后问这个函数的定义域值域周期频率单调性等问题。解决方法就是首先利用“和差倍半” 对式子进行化简。化简成形式，然后求解需要求的。

    三角函数的必要的公式是必须要背诵和熟练掌握的，它如榔头、钳子、刀一样在施工中起着重要的工具作用。

7、关于微积分。现在全世界高中阶段都会学习微积分，除了上海。将来上海也应该会有微积分的课程。我建议成绩好的一些学生要抽时间学习一些初等微积分。微积分听上去令人生畏，但却是一种极好的工具，有助我们理解我们周围的数字和世界的行为。其实，学会了微积分，在解高考的最后两道压轴题的时候，会有很大的帮助。因为近几年的上海数学高考卷，最后两道压轴题的知识难度的最高点实际上已经在向高等数学的方向倾斜。

     通过微积分你将学习到函数和极限的相关知识。你将了解到它们的性质以及接触到一些有用的函数，包括 和对数函数。你还将学习到有关的计算方法和导数的使用。通过一阶导数你能够了解到某一方程的正切线的斜率。例如，导数能让你了解在非线性状态下某些事物变化的比率。二阶导数能够让你了解某一函数在特定区间是在递增还是递减，从而确定函数的凹度。积分将能让你学会如何计算曲线下的图形面积以及体积。必须学会第一步：微分。即导数。导数的研究对象是函数。所以，得学会各种函数。函数的众多极限的性质都是通过数列获得的，得学会数列。准确表达一个函数的时候，得需要定义域和值域，所以，得学好集合。当自变量不止两个时，得学习更高维度的微积分，得学好立体几何。有时候微积分求解特别困难，利用欧拉公式求解可以大大简化，为了理解欧拉公式，得需要知道虚数。

    我是居高临下地和大家在讲数学，所以，数学知识概念和知识点实际上是一个串，学数学知道了各层面知识之间的联系，学起来就感到方便和简单多了。

第三方面：准备考试的方法

1、掌握知识概念。了解考试所需的知识之后，学习和理清知识之间的关系（其实了解提出数学问题的起源和结论的推导方法是特别有助于知识的理解记忆和灵活运用的）。这里我再一次地强调数学基本概念的重要性。概念就是规定。数学知识就是许许多多的规定。我们学数学就是在许许多多的规定下玩数字游戏。概念不清，就是数学思维混乱。就像公路上开车一样，没有车道，没有交通法规，完全是在胡来了。我是非常形象地形容一般人的数学解题。这样的学数学，解出一道题是幸运，解不出来是必然的。题目一难就完全解不出来了。概念清了，题目就自然解出来了，这是逻辑的必然。

2、学习知识固然重要，掌握数学思维方法更重要。数形结合、命题转换、构造函数、推理证明、数学建模、分类与讨论，化归与类比、反证法等思想（数学思维方式）其实体现在每一道题之中，有些你已经轻车熟路自然注意不到，深刻理解这些数学方法是极为重要的。我在学习过程中，好多次班上就我一个人做出来了一道题，其实不是知识的问题，而是大家没有掌握相应的分析解决数学问题的方法，而我却先根据题目所给的已知条件想到了应该采用什么方法去解。

    这里，我又要强调一下，学数学千万不能套用依样画葫芦的所谓方法总结。

3、学会独立探索。很多时候，遇到一些问题，老师也不一定能够在很短的时间内解决，比如每年高考压轴题，每个学校的数学老师都会在两个小时高考规定的时间内解出来吗？肯定不是。否则就不叫压轴题了。但是，我们学生会解。这就需要敢于挑战老师，自己独立思考了。学生在没有老师在身边的时候，独立地去解决数学问题，这是迟早的事情。

    要耐得住寂寞，忍得住压力，既要从宏观战略上向目标逼近，又要微观战术上一步一步思考，先不要寻找捷径，不要怕迂回，坚信自己只要坚持下去，认真思考，逻辑推理，细心计算证明，一定能成功。当你真的解决了一个有难度问题，去找老师探讨，去向同学讲解，不仅能够培养和老师的感情，还能获得同学和老师的称赞，能够提升自信心，提高学习热情和兴趣。另外，同学会向你提出许多的质疑，这对自己是一个很好的考验，能激发巨大的热情和激情。

    在高中的学习中，我真的自己探索出了好多东西。在学函数的时候我就在想切线斜率和图像的关系，后来知道了这就是导数；学平面解析几何的时候我就想过它不就是函数的变量的一对有序实数对与点的位置对应关系，当一对有序实数按照一定规律变化就对应着点的运动轨迹（集合），构建了平面解析几何学。那么三维空间呢？不就是空间解析几何了吗…这种惊喜的感觉让我对数学极其热爱。

    对于高中数学，没有学不会的学生，只有不会教的老师。这句话是对的。今天，我当数学老师了，我处的位置变了，由学生变为老师了，但是，我更要强调这句话是正确的。这是向我自己提出挑战。

    学习数学，老师很重要。它的重要性在于：1，要讲清每一个数学概念；2，要引导学生正确的学习方法。另外，如果需要冲击145或满分，了解高一层面的数学知识很重要，可以节约大量时间，但是要在有经验的老师指导下安排好时间，不能自己胡来，否则对于高中紧张的时间来说，入不敷出。

4、切记数学不是套公式，背定理！！！

    数学是思维的体操表演，数学概念就是体操的基本动作，数学方法就是体操基本动作的连贯设计，整套的体操表演就是逻辑思维的推理展示。

    在这个“快餐”社会里，就连数学高考都有了些什么乱七八糟的数学攻略如“3秒一道小题”、“光速秒杀高考大题”、“十天提高30分”等等等等…，而所谓的数学攻略都是漏洞百出。在我的面前，他们的鼓吹就是街头玩杂耍的小丑，卖弄小伎俩，欺骗老实的不明数学和教学的群众，不登学术的大雅之堂。

    我们提倡正规的高考复习，按部就班地进行三轮高考复习，经过两轮的测试练习，仔细地听数学高考专题讲座，认真地做每一道老师编写的精炼习题，高考夺取高分是水到渠成的事情。

    考试提分的过程千万不要心浮气躁，先掌握基本的概念、公式、定理，然后做一定量的习题。我们坚决反对题海战，一定要做精选的习题！作业练习题一定要是精心选编的整套习题。杂乱的题目，表面上看做了许许多多的题目，实际上知识点有遗漏。而精心选编的整套练习题是按照知识点系统来选择的，做到每一个知识点都不遗漏。当然包括上海高考十年真题必须要认真做完，并加以总结。不要去做那些别打着锻炼数学能力的名义的偏难偏怪的东西，那样只会浪费时间耽误大事。

小提示

数学不是一种被动活动。你无法通过阅读来学习数学。使用在线工具或者老师所提供的工作表来不断地进行练习直到你透彻理解所有相关概念为止。

警告

不要依赖计算器，不要依赖“解题诀窍”。要尝试自己解决问题，强调数学逻辑，强调数

学思维方法，以便能够走出解题过程的每一步。这样你能迎战全新的数学考题。

（林鼎旻  学历： 数学博士 ；在读学校： 美国哥伦比亚大学；研究经历： 美国新泽西学区纽约长岛学区实践调研；职务：院长助理；研究领域： 数学教育、英才教育、中美教育比较）